数学

北宋数学家的代表是沈括、贾宪。沈括的巨著《梦溪笔谈》中记载了隙积术、会圆术两种影响深远的重要数学结果，这两种算法虽然在前代《九章算术》中都有所涉及，但真正得到完满的解决却始自沈括。隙积术属于高阶等差级数求和的问题。它是垛积术研究的开端，在后代产生了极大的影响，19世纪李善兰恒等式和尖锥术等一系列优秀成果都是在此基础上产生的。会圆术是假定已知弓形的圆径和矢高，求弧长的问题，沈括推导出求弧长的近似公式。元代王恂、郭守敬等人编制《授时历》时，就用此公式计算黄道积度和时差。贾宪著有《算法斅古集》二卷和《黄帝九章算经细草》九卷，但都已失传，其算法只有部分在南宋杨辉的《详解九章算法》中得以保存。贾宪在高次方程数值解法上有卓越贡献，他发展了“增乘开方法”，比欧洲早八百年，创立了开方做法本源，解决了一般的开高次方问题，推动了高次方程数值解法在中国的发展。

南宋时杰出的数学家有秦九韶、杨辉，他们代表了当时数学发展的水平。秦九韶多才多艺，对天文、音律、算术、营造等事无不精究，理宗淳祐七年，他完成了中国数学史上的巨著《数书九章》，全书共十八卷，分大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易九类，每类用九个例题来阐明各种算法，每题都完整记述了答、术和草。书中系统地总结和发展了高次方程数值解法和“大衍求一术”，达到了当时数学的最高水平。杨辉，字谦光，钱塘人。他著有《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《杨辉算法》七卷，这些著作多是对古代数学著作的搜集和整理，收录了许多现已失传的各种数学著作中的算题和算法，为中国传统数学保存了极为珍贵的资料。杨辉还十分重视数学的普及和教学工作，他的著作深入浅出、图文并茂，很适合教学。

两宋时期中国传统数学的发展达到了很高的水平，涌现出贾宪、沈括、秦九韶、杨辉等数学家，他们的研究成果代表了当时数学的最高成就，在世界数学发展史中也占有重要地位。